Prˆktorec Basismènoi sth Gn sh

Transcript

1 Prˆktorec Basismènoi sth Gn sh Βασικές έννοιες Γλώσσες αναπαράστασης γνώσης βασισμένες στη Λογική Προτασιακή λογική

2 Prˆktorec Basismènoi sth Gn sh Ο σχεδιασμός ενός πράκτορα βασισμένου στη γνώση (knowledge-based agent) βασίζεται στις εξής υποθέσεις: Η έννοια της γνώσης είναι πρωταρχική. Είναι απαραίτητο να έχουμε ρητή αναπαράσταση της γνώσης που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος εσωτερικά στον πράκτορα. Η επιλογή των ενέργειων του πράκτορα γίνεται με τη βοήθεια μιας διαδικασίας συμπερασμού (inference) ή συλλογιστικής (reasoning) που εϕαρμόζεται στην αναπαράσταση της γνώσης που υπάρχει εσωτερικά στον πράκτορα.

3 Basikèc 'Ennoiec Η γλώσσα αναπαράστασης γνώσης (knowledge representation language): είναι η γλώσσα στην οποία εκϕράζεται η γνώση σχετική με τον κόσμο του πράκτορα. Η βάση γνώσης (knowledge base): είναι ένα σύνολο προτάσεων της γλώσσας αναπαράστασης γνώσης που παριστάνουν τη γνώση του πράκτορα για τον κόσμο του. Η βάση γνώσης είναι η εσωτερική αναπαράσταση της γνώσης που υπάρχει στον πράκτορα.

4 Basikèc 'Ennoiec Ο μηχανισμός συμπερασμού ή συλλογιστικής: είναι ένας μηχανισμός ο οποίος καθορίζει τι έπεται λογικά από τη γνώση στη βάση γνώσεων. Η διεπαϕή ενημερώσεων TELL και ερωτήσεων ASK: η διεπαϕή αυτή περιλαμβάνει λειτουργίες για εισαγωγή νέων προτάσεων στη βάση γνώσης και την διατύπωση ερωτήσεων σε ότι είναι ήδη γνωστό. Αυτή η λειτουργία είναι παρόμοια με την υποβολή ενημερώσεων και ερωτήσεων σε μια βάση δεδομένων. Η λειτουργία ASK χρησιμοποιεί το μηχανισμό συμπερασμού για να βρεί την απάντηση σε μια ερώτηση.

5 Genikìc Prˆktorac Basismènoc sth Gn sh function KB-Agent(percept) returns an action static KB, βάση γνώσης t, μετρητής για το χρόνο, αρχικά 0 Tell(KB,Make-Percept-Sentence(percept, t)) action Ask(KB,Make-Action-Query(t)) Tell(KB,Make-Action-Sentence(action, t)) t t + 1 return action

6 Prˆktorec Basismènoi sth Gn sh Ενας πράκτορας βασισμένος σε γνώση μπορεί να περιγραϕεί σε τρία επίπεδα: Επίπεδο γνώσης (knowledge level): Σε αυτό το επίπεδο ο πράκτορας προσδιορίζεται λέγοντας τι γνωρίζει για τον κόσμο και ποιοί είναι οι στόχοι του. Λογικό επίπεδο (logical level): Αυτό είναι το επίπεδο στο οποίο η γνώση και οι στόχοι του πράκτορα κωδικοποιούνται σε προτάσεις κάποιας λογικής γλώσσας. Επίπεδο υλοποίησης (implementation level): Αυτό είναι το επίπεδο στο οποίο οι προτάσεις υλοποιούνται από ένα πρόγραμμα που τρέχει πάνω στην αρχιτεκτονική του πράκτορα. Σημείωση: Αντιπαραβάλετε τη δηλωτική (declarative) με τη διαδικαστική (procedural) προσέγγιση στην υλοποίηση του συστήματος.

7 Parˆdeigma: Autìmatoc Odhgìc TaxÐ Επίπεδο γνώσης: Ο αυτόματος οδηγός ταξί γνωρίζει ότι η γέϕυρα του Golden Gate συνδέει το San Francisco με το Marin County. Λογικό επίπεδο: Ο αυτόματος οδηγός ταξί έχει την πρόταση της λογική πρώτης τάξης Links(GGBridge,SF,Marin) στη βάση γνώσης του. Επίπεδο υλοποίησης: Η πρόταση Links(GGBridge,SF,Marin) υλοποιείται από μια δομή της C ή ένα γεγονός (fact) της Prolog.

8 Autìnomoi Prˆktorec Basismènoi sth Gn sh Μπορούμε να χτίσουμε έναν πράκτορα βασισμένο σε γνώση ενημερώνοντάς τον τι χρειάζεται να γνωρίζει πριν αρχίσει να αντιλαμβάνεται τον κόσμο (χρησιμοποιώντας την TELL). Μπορούμε επίσης να σχεδιάσουμε έναν μηχανισμό μάθησης ο οποίος θα εξάγει γενική γνώση για το περιβάλλον του, έχοντας ως δεδομένα μια σειρά από πράγματα που έχει αντιληϕθεί. Αυτόνομος πράκτορας = Πράκτορας βασισμένος σε γνώση + Μηχανισμός μάθησης

9 O Kìsmoc tou Wumpus 4 Stench Breeze PIT Breeze 3 Stench PIT Breeze Gold 2 Stench Breeze 1 Breeze PIT Breeze START

10 O Kìsmoc tou Wumpus Περιβάλλον: Πλαίσιο 4x4 όπου βρίσκεται ο πράκτορας, το τέρας Wumpus, μια πλάκα χρυσού και μερικά πηγάδια. Μηχανισμοί δράσης: Ο πράκτορας μπορεί να κινείται μπροστά και να στρίβει δεξιά ή αριστερά. Ο πράκτορας πεθαίνει αν μπει στο τετραγωνάκι που βρίσκεται το (ζωντανό) τέρας ή πέσει σε κάποιο πηγάδι. Ο πράκτορας μπορεί επίσης να εκτελέσει τις ενέργειες Grab και Shoot. Αισθητήρες: Η αντίληψη είναι μια λίστα από 5 σύμβολα: (Stench, Breeze, Glitter, Bumb, Scream) Κάθε μια από τις παραπάνω τιμές μπορεί να είναι None.

11 O Kìsmoc tou Wumpus 1,4 2,4 3,4 4,4 1,3 2,3 3,3 4,3 1,2 2,2 3,2 4,2 OK 1,1 2,1 3,1 4,1 A OK OK (a) A = Agent B = Breeze G = Glitter, Gold OK = Safe square P = Pit S = Stench V = Visited W = Wumpus 1,4 2,4 3,4 4,4 1,3 2,3 3,3 4,3 1,2 2,2 P? 3,2 4,2 OK 1,1 2,1 A 3,1 P? 4,1 V B OK OK (b)

12 O Kìsmoc tou Wumpus 1,4 2,4 3,4 4,4 1,3 W! 2,3 3,3 4,3 1,2 A 2,2 3,2 4,2 S OK OK 1,1 2,1 B 3,1 P! 4,1 V V OK OK (a) A = Agent B = Breeze G = Glitter, Gold OK = Safe square P = Pit S = Stench V = Visited W = Wumpus 1,4 2,4 P? 3,4 4,4 1,3 W! 2,3 A 3,3 P? 4,3 S G B 1,2 S 2,2 3,2 4,2 V V OK OK 1,1 2,1 B 3,1 P! 4,1 V V OK OK (b)

13 O Kìsmoc tou Wumpus Τι χρειάζεται ο πράκτορας για να επιζήσει και να πετύχει το σκοπό του; Ενα μηχανισμό αντίληψης του κόσμου. Ενα μηχανισμό αναπαράστασης γνώσης (γεγονότων και κανόνων) για τον κόσμο. Ενα μηχανισμό συμπερασμού ώστε από γνωστά γεγονότα να εξάγουμε άγνωστα.

14 O Kìsmoc tou Wumpus Παραδείγματα γεγονότων: Αισθάνομαι ρεύμα στο τετραγωνάκι [2,1]. Υπάρχει πηγάδι στο τετραγωνάκι [2,2] ή στο τετραγωνάκι [3,1]. Δεν υπάρχει πηγάδι στο τετραγωνάκι [2,2]. Παράδειγμα κανόνα: Αν σε ένα τετραγωνάκι αισθάνεσαι ρεύμα, τότε σ ένα από τα διπλανά τετραγωνάκια υπάρχει πηγάδι. Παράδειγμα συμπερασμού: Αϕού στο τετραγωνάκι [2,1] αισθάνομαι ρεύμα, τότε υπάρχει πηγάδι στο τετραγωνάκι [2,2] ή στο τετραγωνάκι [3,1] (με βάση τον παραπάνω κανόνα).

15 H Sunèqeia Στη συνέχεια του μαθήματος θα μελετήσουμε δύο γλώσσες αναπαράστασης γνώσης και θα ορίσουμε αντίστοιχους μηχανισμούς συμπερασμού. Οι γλώσσες αυτές θα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για αναπαράσταση γνώσης στο κόσμο του Wumpus.

16 Gl ssec Anaparˆstashc Gn shc Μια γλώσσα αναπαράστασης γνώσης ορίζεται προσδιορίζοντας το συντακτικό (syntax) και τη σημασιολογία της (semantics). Το συντακτικό μιας γλώσσας αναπαράστασης γνώσης καθορίζει με ακρίβεια τους καλά ορισμένους τύπους και προτάσεις της γλώσσας. Η σημασιολογία μιας γλώσσας αναπαράστασης γνώσης ορίζει την αντιστοιχία μεταξύ των τύπων/προτάσεων της γλώσσας και των γεγονότων του κόσμου στον οποίο αναϕέρονται οι τύποι/προτάσεις.

17 ErmhneÐa - AlhjeÐc Protˆseic Μια πρόταση μιας γλώσσας αναπαράστασης γνώσης δεν σημαίνει τίποτα από μόνη της. Η σημασιολογία (δηλαδή η σημασία) της προτασης πρέπει να παρέχεται από τον συγγραϕέα της με τη μορϕή μιας ερμηνείας (interpretation). Αληθείς προτάσεις. Μια πρόταση θα λέγεται αληθής (true) σε μια συγκεκριμένη ερμηνεία αν η κατάσταση που περιγράϕει η πρόταση ισχύει στην ερμηνεία.

18 Logik Kˆluyh (Entailment) Θα γράϕουμε KB = α για να δηλώσουμε ότι οποτεδήποτε οι προτάσεις της KB είναι αληθείς, τότε η πρόταση α είναι επίσης αληθής. Σ αυτή την περίπτωση θα λέμε ότι οι προτάσεις της KB καλύπτουν λογικά την πρόταση α (ή ότι η α έπεται λογικά από την KB ή ότι η α είναι λογική συνέπεια της KB). Δεδομένης μιας KB και μιας πρότασης α, πώς μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν αλγόριθμο ο οποίος θα επαληθεύει αν ισχύει KB = α;

19 O Rìloc thc ShmasiologÐac Representation World Sentences Semantics Entails Sentence Semantics Aspects of the real world Follows Aspect of the real world

20 Sumperasmìc Συμπερασμός (inference) είναι η διαδικασία εξαγωγής προτάσεων που έπονται λογικά από μια βάση γνώσης με μηχανικό τρόπο. Αν μια πρόταση α παράγεται από την KB χρησιμοποιώντας ένα μηχανισμό συμπερασμού i τότε γράϕουμε KB i α. Ενας μηχανισμός συμπερασμού καλείται ορθός (sound) αν παράγει μόνο προτάσεις που έπονται λογικά. Ενας μηχανισμός συμπερασμού καλείται πλήρης (complete) αν παράγει όλες τις προτάσεις που έπονται λογικά.

21 JewrÐa ApodeÐxewn - Kanìnec SumperasmoÔ Το σύνολο των βημάτων που ακολουθούνται για να παραχθεί μια νέα πρόταση α από το σύνολο προτάσεων μιας βάσης γνώσης KB καλείται απόδειξη (proof). Μια θεωρία αποδείξεων (proof theory) είναι ένα σύνολο κανόνων που χρησιμοποιούνται για την εξαγωγή προτάσεων που έπονται λογικά από ένα άλλο σύνολο προτάσεων (μια βάση γνώσεων). Οι κανόνες αυτοί λέγονται κανόνες συμπερασμού (inference rules).

22 Logik Οι γλώσσες αναπαράστασης γνώσης που θα μελετήσουμε είναι: Η προτασιακή λογική (propositional logic) ή λογική του Boole (Boolean logic). Η λογική πρώτης τάξης (first-order logic). Ετσι οι πράκτορες βασισμένοι στη γνώση που θα δημιουργήσουμε θα ονομάζονται λογικοί πράκτορες (logical agents).

23 Logik Γενικά μια λογική (logic) είναι ένα τυπικό σύστημα που αποτελείται από: Συντακτικό (Syntax) Σημασιολογία (Semantics) Θεωρία αποδείξεων (Proof theory) Ερώτηση: Γιατί χρησιμοποιούμε γλώσσες λογικής για την αναπαράσταση γνώσης; Γιατί να μην χρησιμοποιήσουμε ϕυσική γλώσσα ή κάποια γλώσσα προγραμματισμού;

24 Protasiak Logik : Suntaktikì Τα σύμβολα της προτασιακής λογικής είναι: Οι σταθερές T rue και F alse. Ενα αριθμήσιμο απειροσύνολο προτασιακών συμβόλων (proposition symbols) P 1, P 2,... Αυτό το σύνολο θα συμβολίζεται με P. Οι λογικοί σύνδεσμοι:,,, και. Οι παρενθέσεις: (, ).

25 Protasiak Logik : Suntaktikì Η παρακάτω γραμματική χωρίς συμϕραζόμενα ορίζει τις καλά ορισμένες προτάσεις (well-formed sentences) της προτασιακής λογικής: Sentence AtomicSentence ComplexSentence AtomicSentence True False Symbol Symbol P 1 P 2 ComplexSentence (Sentence) Sentence BinaryConnective Sentence BinaryConnective Sentence

26 Protasiak Logik : Suntaktikì Πρόταση: Ολοι οι δυαδικοί λογικοί σύνδεσμοι μπορούν να οριστούν με βάση τον και ένα από τους,,.

27 Proteraiìthta Δεν υπάρχουν αποδεκτοί απ όλους κανόνες προτεραιότητας τελεστών για την προτασιακή λογική. Η προτεραιότητα (από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη) που θα χρησιμοποιήσουμε ακολουθώντας το βιβλίο AIMA είναι:,,, και. Άν έχετε αμϕιβολία για την προτεραιότητα, τότε χρησιμοποιείστε παρενθέσεις. Επιτρέπονται και οι αγκύλες ώστε να εξασϕαλίζεται η αναγνωσιμότητα μιας πρότασης.

28 ParadeÐgmata Η πρόταση P Q R είναι ισοδύναμη με την (P Q) R. Η πρόταση P Q R S είναι ισοδύναμη με την ( (P ) (Q R)) S. Η πρόταση A B C (όπου η προτεραιότητα δεν βοηθάει) μπορεί να διαβαστεί σαν (A B) C ή A (B C) χωρίς πρόβλημα λόγω ισοδυναμίας των τριών αυτών προτάσεων (θα ορίσουμε με ακρίβεια την έννοια της ισοδυναμίας παρακάτω). Ομοίως για τους σύνδεσμους και, αλλά όχι για τον. Πρέπει δηλαδή να χρησιμοποιήσουμε παρενθέσεις στην πρόταση A B C.

29 Protasiak Logik : Ontologikèc Upojèseic Οι οντολογικές υποθέσεις μιας λογικής σχετίζονται με τη ϕύση των κόσμων που μπορούν να αναπαρασταθούν από τη συγκρεκριμένη λογική. Η προτασιακή λογική υποθέτει ότι ο κόσμος αποτελείται από γεγονότα (facts) τα οποία είτε αληθεύουν είτε δεν αληθεύουν. Η λογική πρώτης τάξης που επεκτείνει την προτασιακή λογική κάνει πιο πολύπλοκες και λεπτομερείς οντολογικές υποθέσεις. Η βασική υπόθεση ότι ένα γεγονός είναι αληθές ή ψευδές δεν ισχύει σε άλλες λογικές π.χ. την ασαϕή λογική (fuzzy logic).

30 Protasiak Logik : ShmasiologÐa Representation World Sentences Semantics Entails Sentence Semantics Aspects of the real world Follows Aspect of the real world

31 Protasiak Logik : ShmasiologÐa Ενα προτασιακό σύμβολο (proposition symbol) μπορεί να παριστάνει οτιδήποτε θέλουμε. Η ερμηνεία του μπορεί να είναι ένα οποιοδήποτε γεγονός. Ομως το γεγονός αυτό πρέπει να είναι είτε αληθές είτε ψευδές στον κόσμο που μοντελοποιούμε. Τα παραπάνω διατυπώνονται τυπικά εισάγοντας την έννοια της ερμηνείας. Ορισμός. Εστω P ένα σύνολο προτασιακών συμβόλων. Μια ερμηνεία (interpretation) για το P είναι μια απεικόνιση I : P {false, true}.

32 Protasiak Logik : ShmasiologÐa Η έννοια της ερμηνείας μπορεί να επεκταθεί σε όλες τις καλά ορισμένες προτάσεις της προτασιακής λογικής ακολουθώντας τους εξής αναδρομικούς ορισμούς: I(T rue) = true. I(F alse) = false. I( ϕ) = true αν I(ϕ) = false, διαϕορετικά I( ϕ) = false. I(ϕ 1 ϕ 2 ) = true αν I(ϕ 1 ) = true και I(ϕ 2 ) = true, διαϕορετικά I(ϕ 1 ϕ 2 ) = false. I(ϕ 1 ϕ 2 ) = true αν I(ϕ 1 ) = true ή I(ϕ 2 ) = true, διαϕορετικά I(ϕ 1 ϕ 2 ) = false.

33 Protasiak Logik : ShmasiologÐa I(ϕ 1 ϕ 2 ) = true αν I(ϕ 1 ) = false ή I(ϕ 2 ) = true, διαϕορετικά I(ϕ 1 ϕ 2 ) = false. I(ϕ 1 ϕ 2 ) = true αν I(ϕ 1 ) = I(ϕ 2 ), διαϕορετικά I(ϕ 1 ϕ 2 ) = false.

34 Parˆdeigma: O Kìsmoc tou Wumpus 4 Stench Breeze PIT Breeze 3 Stench PIT Breeze Gold 2 Stench Breeze 1 Breeze PIT Breeze START

35 Anaparˆstash me Protasiak Logik Θα χρησιμοποιήσουμε τα εξής προτασιακά σύμβολα για να παραστήσουμε μερικές από τις γνώσεις που έχουμε για το κόσμο του Wumpus όπως αυτές δίνονται στην προηγούμενη εικόνα: Ο πράκτορας είναι στο τετραγωνάκι [x, y]: Ο Wumpus είναι στο τετραγωνάκι [x, y]: A xy W xy Υπάρχει πηγάδι στο τετραγωνάκι [x, y]: P xy Υπάρχει αύρα στο τετραγωνάκι [x, y]: B xy

36 Anaparˆstash me Protasiak Logik Στην προηγούμενη εικόνα, με βάση το συμβολισμό μας, μπορούμε διαισθητικά να πούμε ότι οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν : A 11, W 31, P 13, P 33, P 44, B 43, B 32, B 34, B 34, B 23, B 12, B 14, A 12, W 11, (P 44 A 44 )

37 Mia Katˆllhlh ErmhneÐa Μια κατάλληλη ερμηνεία I για τα προτασιακά σύμβολα μας που κωδικοποιεί ό,τι βλέπουμε σχετικά με αυτά τα σύμβολα στην προηγούμενη εικόνα καθορίζεται ως εξής: I(A 11 ) = true, I(A xy ) = false για όλα τα άλλα ζεύγη x, y I(W 31 ) = true, I(W xy ) = false για όλα τα άλλα ζεύγη x, y I(P 13 ) = true, I(P 33 ) = true, I(P 44 ) = true, I(P xy ) = false για όλα τα άλλα ζεύγη x, y I(B 43 ) = true, I(B 32 ) = true, I(B 34 ) = true, I(B 34 ) = true, I(B 23 ) = true, I(B 12 ) = true, I(B 14 ) = true, I(B xy ) = false για όλα τα άλλα ζεύγη x, y

38 Poièc Protˆseic IsqÔoun? Μπορούμε τώρα να δούμε ποιές προτάσεις ισχύουν διαισθητικά στην εικόνα που είδαμε. Είναι αυτές που η ερμηνεία I τους δίνει την τιμή true. Για παράδειγμα: I( A 12 ) = true, I( W 11 ) = true, I( (P 44 A 44 )) = true, I(A 11 W 11 ) = true, I(A 13 W 11 ) = true Αντίθετα, οι παρακάτω προτάσεις στις οποίες η ερμηνεία δίνει την τιμή false, δεν ισχύουν : I( A 11 ) = false, I(P 43 A 44 ) = false, I(P 44 (W 11 A 12 )) = false

39 'Allec ErmhneÐec Υπάρχουν άλλες ερμηνείες για τα προτασιακά σύμβολα μας που δεν αντιστοιχούν στην προηγούμενη εικόνα. Για παράδειγμα η παρακάτω ερμηνεία J: J(A 44 ) = true, J(A xy ) = false για όλα τα άλλα ζεύγη x, y J(W 31 ) = true, J(W xy ) = false για όλα τα άλλα ζεύγη x, y J(P 13 ) = true, J(P 33 ) = true, J(P 44 ) = true, J(P xy ) = false για όλα τα άλλα ζεύγη x, y J(B 43 ) = true, J(B 32 ) = true, J(B 34 ) = true, J(B 34 ) = true, J(B 23 ) = true, J(B 12 ) = true, J(B 14 ) = true, J(B xy ) = false για όλα τα άλλα ζεύγη x, y

40 Sunjetikìthta thc Protasiak c Logik c Μια γλώσσα καλείται συνθετική (compositional) όταν η σημασία μιας πρότασης της γλώσσας είναι συνάρτηση της σημασίας των τμημάτων αυτής της πρότασης. Η συνθετικότητα είναι μια επιθυμητή ιδιότητα στις τυπικές γλώσσες. Η προτασιακή λογική έχει την ιδιότητα της συνθετικότητας όπως μπορούμε να δούμε από τους ορισμούς της σημασιολογίας της.

41 IkanopoÐhsh - Montèlo Ορισμός. Εστω ϕ μια πρόταση της προτασιακής λογικής. Αν I είναι μια ερμηνεία τέτοια ώστε I(ϕ) = true τότε λέμε ότι I ικανοποιεί (satisfies) τη ϕ ή ότι η I είναι ένα μοντέλο (model) της ϕ.

42 Parˆdeigma Η ερμηνεία I που δώσαμε νωρίτερα ικανοποιεί τις παρακάτω προτάσεις: T rue, A 12, W 11, (P 44 A 44 ), A 11 W 11, A 13 W 11 Η ερμηνεία I δεν ικανοποιεί τις παρακάτω προτάσεις: F alse, A 11, P 43 A 44, P 44 (W 11 A 12 )

43 Ikanopoihsimìthta Ορισμός. Μια πρόταση ϕ της προτασιακής λογικής είναι ικανοποιήσιμη (satisfiable) αν υπάρχει μια ερμηνεία I τέτοια ώστε I(ϕ) = true. Παραδείγματα: P, P Q, (P R) Q Ορισμός. Μια πρόταση ϕ της προτασιακής λογικής είναι μη ικανοποιήσιμη (unsatisfiable) αν δεν υπάρχει καμία ερμηνεία I τέτοια ώστε I(ϕ) = true. Παράδειγμα: P P

44 Egkurìthta (Validity) Ορισμός. Μια πρόταση ϕ της προτασιακής λογικής είναι έγκυρη (valid) αν για κάθε ερμηνεία I, ισχύει I(ϕ) = true. Παραδείγματα: P P, ((P H) H) P Οι έγκυρες προτάσεις της προτασιακής λογικής λέγονται και ταυτολογίες (tautologies). Θεώρημα. Εστω ϕ μια πρόταση της προτασιακής λογικής. Η ϕ είναι μη ικανοποιήσιμη ανν η ϕ είναι έγκυρη. Απόδειξη; Προσοχή: ανν σημαίνει αν και μόνο αν

45 H GewgrafÐa thc Protasiak c Logik c Satisfiable Sentences Valid Sentences Unsatisfiable Sentences

46 Logik Kˆluyh (Entailment) Ορισμός. Εστω ϕ και ψ προτάσεις της προτασιακής λογικής. Θα λέμε ότι η ϕ καλύπτει λογικά (entails) την ψ ή ότι η ψ έπεται λογικά από την ϕ ή ότι η ψ είναι λογική συνέπεια της ϕ (συμβολισμός: ϕ = ψ) αν για κάθε ερμηνεία I τέτοια ώστε I(ϕ) = true ισχύει ότι I(ψ) = true. Παραδείγματα: P Q = P, P (P Q) = Q Θεώρημα Παραγωγής (Deduction Theorem). Εστω ϕ και ψ προτάσεις της προτασιακής λογικής. Τότε ϕ = ψ ανν ϕ ψ είναι έγκυρη. Απόδειξη;

47 Logik Kˆluyh kai Mh Ikanopoihsimìthta Θεώρημα. Εστω ϕ και ψ προτάσεις της προτασιακής λογικής. Τότε ϕ = ψ ανν ϕ ψ είναι μη ικανοποιήσιμη. Απόδειξη; Το παραπάνω θεώρημα είναι η βάση των αποδείξεων με απαγωγή σε άτοπο (σε χρήση από την εποχή του Αριστοτέλη).

48 IsodunamÐa Ορισμός. Εστω ϕ και ψ προτάσεις της προτασιακής λογικής. Θα λέμε ότι η ϕ είναι ισοδύναμη (equivalent) με την ψ (συμβολισμός: ϕ ψ) αν ϕ = ψ και ψ = ϕ. Παράδειγμα: (P Q) P Q Θεώρημα. ϕ ψ ανν η πρόταση ϕ ψ είναι έγκυρη. Απόδειξη;

49 Merikèc Qr simec IsodunamÐec Εστω α, β και γ προτάσεις της προτασιακής λογικής. Τότε: (α β) (β α) (α β) (β α) αντιμεταθετικότητα του αντιμεταθετικότητα του ((α β) γ) (α (β γ)) ((α β) γ) (α (β γ)) προσεταιριστικότητα του προσεταιριστικότητα του ( α) α απαλοιϕή διπλής άρνησης (α β) ( β α) αντιθετοαντιστροϕή (contraposition)

50 Merikèc Qr simec IsodunamÐec (α β) ( α β) απαλοιϕή συνεπαγωγής (α β) ((α β) (β α)) συνεπαγωγής απαλοιϕή διπλής (α β) ( α β) (α β) ( α β) νόμος de Morgan νόμος de Morgan (α (β γ)) ((α β) (α γ)) προς το (α (β γ)) ((α β) (α γ)) προς το επιμεριστικότητα του ως επιμεριστικότητα του ως

51 PÐnakec AlhjeÐac Οι πίνακες αληθείας (truth tables) είναι εργαλεία που μας επιτρέπουν να βρούμε την τιμή αληθείας μιας πρότασης της προτασιακής λογικής αν γνωρίζουμε τις τιμές αληθείας των επιμέρους προτάσεων που την απαρτίζουν (με βάση τη συνθεσιμότητα της προτασιακής λογικής).

52 PÐnakec AlhjeÐac A A true false false true A B A B A B A B A B f alse f alse f alse f alse true true f alse true f alse true true f alse true f alse f alse true f alse f alse true true true true true true

53 PÐnakec AlhjeÐac: GiatÐ EÐnai Qr simoi? Οι πίνακες αληθείας μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αποδείξουμε την αλήθεια ή το ψεύδος μιας οποιασδήποτε πρότασης της προτασιακής λογικής σε μια δεδομένη ερμηνεία. Παρομοίως, οι πίνακες αληθείας μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αποδείξουμε την ικανοποιησιμότητα ή την εγκυρότητα μιας πρότασης, ή την ισοδυναμία δύο προτάσεων της προτασιακής λογικής. Υπολογιστική Πολυπλοκότητα: O(2 n ) όπου n είναι ο αριθμός των προτασιακών συμβόλων της πρότασης.

54 Parˆdeigma Πίνακας αληθείας για να αποδείξουμε την εγκυρότητα της πρότασης ((P H) H) P. P H P H (P H) H ((P H) H) P false false false false true f alse true true f alse true true f alse true true true true true true f alse true

55 Parˆdeigma Ενας πίνακας αληθείας που δείχνει ότι { P H, H } = P. P H P H H P false false false true false f alse true true f alse f alse true f alse true true true true true true f alse true

56 JewrÐa ApodeÐxewn kai Kanìnec SumperasmoÔ Ενας κανόνας συμπερασμού (inference rule) είναι ένας κανόνας της μορϕής α 1, α 2,..., α n β όπου α 1, α 2,..., α n είναι προτάσεις οι οποίες ονομάζονται υποθέσεις και β είναι μια πρόταση που ονομάζεται συμπέρασμα. Ενας κανόνας συμπερασμού εϕαρμόζεται ως εξής: οποτεδήποτε έχουμε ένα σύνολο προτάσεων που ταιριάζουν με τις υποθέσεις του κανόνα, μπορούμε να εξάγουμε την πρόταση-συμπέρασμα.

57 Protasiak Logik : Kanìnec SumperasmoÔ Τρόπος του θέτειν (modus ponens): Απαλοιϕή σύζευξης: Εισαγωγή σύζευξης: Εισαγωγή διάζευξης: α 1 α 2... α n α i α 1,α 2,...,α n α 1 α 2... α n α i α 1 α 2... α n Απαλοιϕή διπλής άρνησης: α α Μοναδιαία ανάλυση: Ανάλυση: α β, β γ α γ α β, β α α β, α β

58 Protasiak Logik : JewrÐec ApodeÐxewn Η κλασσική βιβλιογραϕία της προτασιακής λογικής μας δίνει διάϕορες τυπικές θεωρίες αποδείξεων (δηλ. αποδεικτικές μεθόδους) που είναι ορθές και πλήρεις (π.χ., tableaux, Hilbert systems, natural deduction systems κλπ.). Οι μέθοδοι αυτοί ορίζουν κατάλληλους κανόνες συμπερασμού. Δείτε για παράδειγμα τις μεθόδους που παρουσιάζονται στο βιβλίο: Melvin Fitting. First-Order Logic and Automated Theorem Proving. Springer, Εμεις θα παρουσιάσουμε μια θεωρία αποδείξεων που βασίζεται στη χρήση ενός μόνο κανόνα συμπερασμού, του κανόνα της ανάλυσης.

59 O Kìsmoc tou Wumpus 1,4 2,4 3,4 4,4 1,3 2,3 3,3 4,3 1,2 2,2 3,2 4,2 OK 1,1 2,1 3,1 4,1 A OK OK (a) A = Agent B = Breeze G = Glitter, Gold OK = Safe square P = Pit S = Stench V = Visited W = Wumpus 1,4 2,4 3,4 4,4 1,3 2,3 3,3 4,3 1,2 2,2 P? 3,2 4,2 OK 1,1 2,1 A 3,1 P? 4,1 V B OK OK (b)

60 Sumperasmìc ston Kìsmo tou Wumpus Η βάση γνώσης για την εικόνα (a): Δεν υπάρχει πηγάδι στο [1, 1] (αντίληψη του πράκτορα): R 1 : P 11 Σ ένα τετραγωνάκι γίνεται αντιληπτή αύρα αν και μόνο αν υπάρχει πηγάδι σε γειτονικό τετραγωνάκι (κανόνας του κόσμου). Διατυπώνουμε αυτόν τον κανόνα μόνο για το τετραγωνάκι [1, 1]: R 2 : B 11 P 12 P 21 Δε γίνεται αντιληπτή αύρα στο τετραγωνάκι [1, 1] (αντίληψη του πράκτορα). R 3 : B 11

61 Sumperasmìc ston Kìsmo tou Wumpus Ο πράκτορας μπορεί τώρα να χρησιμοποιήσει τους κανόνες συμπερασμού της προτασιακής λογικής και τις λογικές ισοδυναμίες για να αποδείξει το εξής: Δεν υπάρχει πηγάδι στα τετραγωνάκια [1, 2] ή [2, 1]. Εϕαρμόζουμε απαλοιϕή διπλής συνεπαγωγής στην R 2 : R 4 : (B 11 (P 12 P 21 )) ((P 12 P 21 ) B 11 ) Εϕαρμόζουμε απαλοιϕή σύζευξης στην R 4 : R 5 : (P 12 P 21 ) B 11

62 Sumperasmìc ston Kìsmo tou Wumpus Εϕαρμόζουμε τη λογική ισοδυναμία για αντιθετοαντίστροϕες προτάσεις στην R 5 : R 6 : B 11 (P 12 P 21 ) Εϕαρμόζουμε modus ponens στις R 6 και R 3 : R 7 : (P 12 P 21 ) Εϕαρμόζουμε τον κανόνα de Morgan στην R 7 και έχουμε το επιθυμητό συμπέρασμα: R 8 : P 12 P 21

63 H Idiìthta thc Monotonikìthtac Η προτασιακή λογική (όπως και η λογική πρώτης τάξης που θα δούμε αργότερα) είναι μονότονη: Αν KB = ϕ τότε KB ψ = ϕ. Αυτό σημαίνει ότι αν προστεθεί νέα γνώση ψ σε μια βάση γνώσεων KB τότε μπορούμε πιθανά να συμπεράνουμε νέα γνώση, αλλά δεν μπορούμε να ακυρώσουμε γνώση που ήδη είχαμε συμπεράνει από την KB.

64 O Kanìnac SumperasmoÔ thc Anˆlushc Θα παρουσιάσουμε τώρα τον κανόνα συμπερασμού της ανάλυσης που είναι ένας ορθός και πλήρης κανόνας συμπερασμού για την προτασιακή λογική. Για να εϕαρμόσουμε τον κανόνα της ανάλυσης, οι προτάσεις της προτασιακής λογικής πρέπει να είναι σε συζευκτική κανονική μορϕή. Δίνουμε αμέσως τους σχετικούς ορισμούς.

65 Lektikˆ (Literals) Ορισμός. Ενα λεκτικό (literal) είναι ένα προτασιακό σύμβολο ή η άρνηση του. Στην πρώτη περίπτωση έχουμε ένα θετικό λεκτικό και στη δεύτερη περίπτωση ένα αρνητικό λεκτικό. Παραδείγματα: P 1, P 2, P 3

66 Frˆseic (Clauses) Ορισμός. Μια ϕράση (clause) είναι μια διάζευξη λεκτικών. Παραδείγματα: P 1 P 2 P 3, P 1 P 4, P 1 P 3 P 5

67 Suzeuktik Kanonik Morf Ορισμός. Μια πρόταση της προτασιακής λογικής είναι σε συζευκτική κανονική μορϕή (conjunctive normal form, CNF) αν είναι μια σύζευξη ϕράσεων (δηλ. μια σύζευξη διαζεύξεων που αποτελούνται από λεκτικά). Θεώρημα. Κάθε πρόταση της προτασιακής λογικής μπορεί να μετατραπεί σε μια ισοδύναμη πρόταση που είναι σε CNF.

68 Metatrop se CNF 1. Απαλοιϕή διπλών συνεπαγωγών χρησιμοποιώντας την παρακάτω ισοδυναμία: (ϕ ψ) (ϕ ψ ψ ϕ) 2. Απαλοιϕή απλών συνεπαγωγών χρησιμοποιώντας την παρακάτω ισοδυναμία: ϕ ψ ϕ ψ 3. Μετακίνηση των αρνήσεων ( ) προς τα μέσα ώστε κάθε άρνηση να εϕαρμόζεται σε ένα ατομικό τύπο. Χρησιμοποιούμε τις παρακάτω ισοδυναμίες: ϕ ϕ (ϕ ψ) ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ

69 Metatrop se CNF 4. Εϕαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα του ως προς το : (ϕ ψ) θ (ϕ θ) (ψ θ) θ (ϕ ψ) (θ ϕ) (θ ψ) 5. Απλοποιούμε τις συζεύξεις και διαζεύξεις απαλοίϕοντας τις παρενθέσεις που δεν χρειάζονται. 6. Απαλοίϕουμε το σύμβολο και έχουμε μια λίστα από διαζεύξεις (ϕράσεις).

70 Parˆdeigma Εστω η πρόταση Βήμα 1: (P 1 P 2 ) (P 3 P 4 ) (P 1 P 2 P 2 P 1 ) (P 3 P 4 P 4 P 3 ) Βήμα 2: (( P 1 P 2 ) ( P 2 P 1 )) (( P 3 P 4 ) ( P 4 P 3 )) Βήμα 3: (( P 1 P 2 ) ( P 2 P 1 )) ( ( P 3 P 4 ) ( P 4 P 3 )) (( P 1 P 2 ) ( P 2 P 1 )) ((P 3 P 4 ) (P 4 P 3 ))

71 Parˆdeigma Βήμα 4: (( P 1 P 2 ) ( P 2 P 1 )) ((P 3 P 4 ) (P 3 P 3 ) ( P 4 P 4 ) ( P 4 P 3 )) Βήμα 5: ( P 1 P 2 ) ( P 2 P 1 ) (P 3 P 4 ) (P 3 P 3 ) ( P 4 P 4 ) ( P 4 P 3 ) Βήμα 6: P 1 P 2, P 2 P 1, P 3 P 4, P 3 P 3, P 4 P 4, P 4 P 3

72 O Kanìnac SumperasmoÔ thc MonadiaÐac Anˆlushc Ο κανόνας συμπερασμού της μοναδιαίας ανάλυσης (unit resolution) για την προτασιακή λογική είναι ο εξής. Αν l i και m είναι συμπληρωματικά λεκτικά, τότε: l 1 l i 1 l i l i+1 l k, m l 1 l i 1 l i+1 l k Ορισμός. Τα λεκτικά l και m λέγονται συμπληρωματικά (complementary) αν το ένα είναι η άρνηση του άλλου.

73 Parˆdeigma Εστω οι εξής ϕράσεις: P 1 P 2 P 3 P 2 Από την ϕράση P 1 P 2 P 3 και την P 3, με τον κανόνα της μοναδιαίας ανάλυσης μπορούμε να συμπεράνουμε την P 3 P 1 P 2. Από την ϕράση P 1 P 2 και την P 2 με τον κανόνα της μοναδιαίας ανάλυσης μπορούμε να συμπεράνουμε την P 1.

74 O Kanìnac SumperasmoÔ thc Anˆlushc Ο κανόνας συμπερασμού της ανάλυσης (resolution) για την προτασιακή λογική είναι ο εξής. Αν l i και m j είναι συμπληρωματικά λεκτικά, τότε: l 1 l i 1 l i l i+1 l k, m 1 m j 1 m j m j+1 m n l 1 l i 1 l i+1 l k m 1 m j 1 m j+1 m n

75 Parˆdeigma Εστω οι εξής ϕράσεις: P 1 P 2 P 3 P 2 P 1 P 3 P 4 Από την ϕράση P 1 P 2 P 3 και την P 3 P 4, με τον κανόνα της ανάλυσης, μπορούμε να συμπεράνουμε την P 1 P 2 P 4. Από την ϕράση P 1 P 2 P 4 και την P 2 P 1 με τον κανόνα της ανάλυσης, μπορούμε να συμπεράνουμε την P 1 P 4 P 1. Η τελευταία ϕράση είναι ισοδύναμη με την P 1 P 4.

76 ParagontopoÐhsh (Factoring) Πρέπει πάντα να αϕαιρούμε τις εμϕανίσεις πολλαπλών λεκτικών από μια ϕράση όπως κάναμε παραπάνω. Ισοδύναμα: μια ϕράση είναι ένα σύνολο λεκτικών.

77 Qr sh tou Kanìna thc Anˆlushc Ο κανόνας της ανάλυσης χρησιμοποιείται για να δείξουμε ότι ένα σύνολο ϕράσεων S είναι μη ικανοποιήσιμο. Αυτό αποδεκνύεται αν με τη χρήση του κανόνα της ανάλυσης ϕτάσουμε σε αντίϕαση, δηλαδή σε δύο λεκτικά που το ένα είναι η άρνηση του άλλου. Αν εϕαρμόσουμε ανάλυση σε αυτά τα λεκτικά, ϕτάνουμε στην κενή ϕράση.

78 Qr sh tou Kanìna thc Anˆlushc Ο κανόνας της ανάλυσης μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί όταν θέλουμε να δείξουμε ότι KB = ϕ για μια βάση γνώσης KB και πρόταση ϕ. Ισοδύναμα: μπορούμε να δείξουμε ότι η πρόταση KB ϕ είναι μη ικανοποιήσιμη χρησιμοποιώντας ανάλυση.

79 Parˆdeigma Δίνονται οι εξής προτάσεις στα Ελληνικά: Αν ο μονόκερος είναι μυθικός τότε είναι αθάνατος, αλλά αν δεν είναι μυθικός τότε είναι θνητό θηλαστικό. Αν ο μονόκερος είναι θνητό θηλαστικό ή αθάνατος τότε είναι κερασϕόρος. Αν ο μονόκερος είναι κερασϕόρος τότε είναι μαγικός. Να δείξετε: Ο μονόκερος είναι μαγικός.

80 Parˆdeigma: Protasiak Logik Θα χρησιμοποιήσουμε τα εξής προτασιακά σύμβολα: M ythical, θα παριστάνει την πρόταση: ο μονόκερος είναι μυθικός. M ortal, θα παριστάνει την πρόταση: ο μονόκερος είναι θνητός. M ammal, θα παριστάνει την πρόταση: ο μονόκερος είναι θηλαστικό. Horned, θα παριστάνει την πρόταση: ο μονόκερος είναι κερασϕόρος. M agical, θα παριστάνει την πρόταση: ο μονόκερος είναι μαγικός.

81 Parˆdeigma: Protasiak Logik Οι δοσμένες προτάσεις παριστάνονται σε προτασιακή λογική ως εξής: Mythical Mortal Mythical Mortal Mythical Mammal ((Mortal Mammal) Mortal) Horned Horned Magical Εχουμε να αποδείξουμε την πρόταση M agical.

82 Parˆdeigma: Suzeuktik Kanonik Morf Μετατρέπουμε τις δοσμένες προτάσεις και την άρνηση της πρότασης που έχουμε να αποδείξουμε σε CNF: M ythical M ortal Mythical Mortal Mythical Mammal M ortal M ammal Horned Mortal Horned Horned Magical M agical

83 Parˆdeigma: Anˆlush 1. Από την πρόταση Mythical Mortal και την Mythical Mammal, έχουμε την Mortal Mammal. 2. Από την πρόταση Mortal Mammal και την M ortal Horned, έχουμε την Mammal Horned. 3. Από την πρόταση Mammal Horned, την M ortal M ammal Horned και παραγοντοποίηση, έχουμε την M ortal Horned.

84 Parˆdeigma: Anˆlush 4. Από την πρόταση Mortal Horned, την Mortal Horned και παραγοντοποίηση, έχουμε την Horned. 5. Από την πρόταση Horned και την Horned Magical, έχουμε την Magical. 6. Από τα λεκτικά Magical και Magical, έχουμε την κενή ϕράση (αντίϕαση).

85 Orjìthta kai Plhrìthta tou Kanìna thc Anˆlushc Ορθότητα. Εστω η βάση γνώσης KB. Αν η ϕ μπορεί να αποδειχθεί από την KB χρησιμοποιώντας ανάλυση, τότε KB = ϕ. Πληρότητα Διάψευσης. Αν ένα σύνολο ϕράσεων KB είναι μη ικανοποιήσιμο, τότε υπάρχει μια απόδειξη της κενής ϕράσης από την KB χρησιμοποιώντας ανάλυση. Σημείωση: Την απόδειξη αυτή μπορεί να τη βρεί οποιοσδήποτε πλήρης αλγόριθμος αναζήτησης που χρησιμοποιεί τον κανόνα της ανάλυσης.

86 Ikanopoihsimìthta kai CSPs Το πρόβλημα της ικανοποιησιμότητας για την προτασιακή λογική είναι θεμελιώδες. Οπως είδαμε παραπάνω, τα προβλήματα της λογικής κάλυψης και της εγκυρότητας μπορούν να αναδιατυπωθούν ως προβλήματα ικανοποιησιμότητας. Το πρόβλημα της ικανοποιησιμότητας για την προτασιακή λογική μπορεί να διατυπωθεί ως πρόβλημα ικανοποίησης περιορισμών (CSP). Ποιες είναι οι μεταβλητές, τα πεδία και οι περιορισμοί;

87 Poluplokìthta Ikanopoihsimìthtac Θεώρημα. Το πρόβλημα του να αποϕανθούμε αν μια πρόταση της προτασιακής λογικής είναι ικανοποιήσιμη ή όχι είναι NP-complete (Cook, 1971). Το πρόβλημα του παραπάνω θεωρήματος είναι γνωστό σαν SAT (satisfiability). Πόρισμα. Το πρόβλημα του να αποϕανθούμε αν μια πρόταση της προτασιακής λογικής είναι έγκυρη ή όχι είναι co-np-complete. Συνεπώς οι πιθανότητες να βρεθούν αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου για την επίλυση των παραπάνω προβλημάτων είναι πολύ μικρές.

88 ApodotikoÐ Algìrijmoi Παρά το παραπάνω ϕράγμα πολυπλοκότητας, υπάρχουν αποδοτικοί αλγόριθμοι για το πρόβλημα της ικανοποιησιμότητας και υλοποιήσεις τους σε διάϕορους SAT solvers. Δείτε για παράδειγμα τους αλγόριθμους DPLL και WalkSat από το βιβλίο ΑΙΜΑ, και τον solver SAT4J ( που θα χρησιμοποιήσουμε στις ασκήσεις.

89 Frˆseic Horn Ορισμός. Μια ϕράση Horn είναι μια ϕράση που έχει το πολύ ένα θετικό λεκτικό. Δηλαδή, μια ϕράση Horn απαντάται στις εξής μορϕές: Q P 1 P 2... P n Q (ισοδύναμα: P 1 P 2... P n Q) P 1 P 2... P n όπου P 1,..., P n, Q είναι προτασιακά σύμβολα. Θεώρημα. Αν η ϕ είναι σύζευξη ϕράσεων Horn τότε η ικανοποιησιμότητα της ϕ μπορεί να αποϕασιστεί σε πολυωνυμικό χρόνο.

90 AnakefalaÐwsh Εστω KB ένα σύνολο προτάσεων της προτασιακής λογικής και ϕ μια πρόταση της προτασιακής λογικής. Πως μπορούμε να αποϕασίσουμε αν KB = ϕ; Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους σημασιολογικούς ορισμούς που δώσαμε, και να κάνουμε τη σχετική απόδειξη. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πίνακες αληθείας. Μπορούμε να εϕαρμόσουμε τους κανόνες συμπερασμού που δώσαμε παραπάνω (π.χ., ανάλυση). Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα SAT solver.

91 AdunamÐec thc Protasiak Logik c Θεωρείστε τον εξής κανόνα για τον κόσμο του Wumpus: Αν σ ένα τετραγωνάκι δε γίνεται αντιληπτή μυρωδιά τότε ούτε στο ίδιο το τετραγωνάκι ούτε σε γειτονικό του δεν μπορεί να είναι ο Wumpus. Πώς μπορούμε να αναπαραστήσουμε αυτόν τον κανόνα σε προτασιακή λογική; Πρέπει να γράψουμε έναν κανόνα για κάθε σχετικό τετραγωνάκι! Για παράδειγμα: S 11 W 11 W 12 W 21

92 AdunamÐec thc Protasiak Logik c Δεν υπάρχει τρόπος στην προτασιακή λογική να εκϕράσουμε κάτι για όλα τα αντικείμενα ενός συγκεκριμένου είδους (π.χ., για κάθε τετραγωνάκι). Δεν υπάρχει τρόπος να μιλήσουμε για ένα συγκεκριμένο αντικείμενο, τις ιδιότητες του και τις σχέσεις του με άλλα αντικείμενα. Δεν υπάρχει τρόπος να μιλήσουμε για την ύπαρξη (ή την μη ύπαρξη) ενός αντικειμένου με συγκεκριμένες ιδιότητες. Μην ανησυχείτε! Αυτά μπορούμε να τα εκϕράσουμε στην λογική πρώτης τάξης.

93 Prˆktorac Basismènoc sth Gn sh function Propositional-KB-Agent(percept) returns an action static KB, βάση γνώσης t, μετρητής για το χρόνο, αρχικά 0 Tell(KB,Make-Percept-Sentence(percept, t)) for each action in the list of possible actions do if Ask(KB,Make-Action-Query(t, action)) then Tell(KB,Make-Action-Sentence(action, t)) t t + 1 return action end

94 Melèth Κεϕάλαιο 7 από το βιβλίο AIMA: Λογικοί Πράκτορες (Ενότητες 7.1 έως 7.5 και 7.7).